现代金融学中的数学方法

  摘 要:严密而精确的数学方法在现代成熟的科学门类中得到了广泛的运用,并深入地促进了金融学的蓬勃发展。金融学的持续进步离不开数学方法的推动,但数学工具在金融学的运用也不可避免地存在局限性。本文介紹了金融学研究引入数学方法的必要性与现状,分析其局限与不足,并探讨了二者融合发展的趋势。

  关键词:金融学;数学方法;金融趋势

  随着金融学科的日渐成熟和金融市场的逐步拓展,数学越来越紧密地嵌入金融领域。实践证明,数学必将在金融领域中发挥越来越大的作用,然而期冀数学方法解决一切金融问题的想法也是不够现实的。就金融数学的发展前沿来看,数学与金融学进一步的深入融合将是大势所趋。

  一、 现代金融学常用的数学方法

  当前影响依然重大的数学方法主要有:有效率市场理论,证券组合理论,资本资产定价模型。

  (一)有效率的市场理论

  该理论由罗伯茨和法马提出,其含义是市场可以迅速准确地反映出所有可供使用的信息。该理论引入了鞅过程从数学上研究信息和金融风险的关系。但市场是否有效,或者说高效低效,更多只是程度问题。这一假设被一些学者认为存在自相矛盾:市场效率是有成本的投机套利活动的产物,同时市场的有效性导致投机套利将无利可图。可是一旦无利可图投机套利活动自然失去动力,而停止投机套利活动后又怎么继续保持市场的有效率性呢?恰是投机套利活动使得价格更有效率。同样,市场主体可以通过创新活动来利用市场的无效率,创新活动又可以使市场更有效率。恰是这一矛盾统一体的不断变化,使得金融市场呈现出统计意义上的周期性。

  (二)证券组合理论

  金融市场中存在哪些风险,其大小如何确定,期望收益最大化、不确定性最小化如何实现,历来是焦点难点问题。实践发现,有机的投资组合可以减轻市场风险带来的可能损失。马科维茨借助概率论、规划论创立了证券组合理论,使得市场风险逐渐可以预见和驾驭。该理论的立足点在于全面考虑收益最大和风险最小,运用概率统计方法发现投资者应按适当比例同时购入各种证券来进行分散化投资,从而获取确定的投资收益。

  (三)期权定价方程

  该理论由布莱克和斯科尔斯提出,他们通过求解随机微分方程利用市场套利条件导出了到期月之前的期权价格精确公式。该模型需满足6个假设前提:欧式期权、股票不付股息、无风险收益率为常量、无交易成本和税收限制、标的资产随机价格服从几何布朗运动、面向贸易市场连续开放。该方程对于制定金融衍生品价格具有重要指导价值,也是数学方法在金融领域应用的重要成果。

  二、现代金融学运用数学方法的局限性

  数学方法在金融学研究中发挥了巨大的作用,但将数学分析手段当做证明金融认识结论完备性的唯一途径的观点却是极其片面的。

  非经济因素制约了数学方法的分析作用。金融学的研究对象极其繁琐,其中有些具有不易量化、极其复杂的特征,也容易受到多种非经济因素影响。而数学模型只能有条件地、相对地把握现实因素,其运用前提只能建立在一系列可计量化假设的基础之上,一旦假设同现实金融状况中的若干因素不相吻合,数学模型便无法发挥分析作用。

  应用数学方法的目的不明确导致过犹不及。数学语言发挥积极作用的前提是比其他表述语言更为精简、洗练,如果某一金融现象可以用更好地方式表述,就不宜过于依赖数学语言。

  金融市场发展日新月异,金融体制的监管与金融风险的控制只能依托持续的金融创新与改革深化。这要求要求我们以系统科学的研究观点来提升金融学理论的计算机化、数学化水平,用数学模型表述市场系统本质,用计算机技术实现选择方案最优化,进而保持金融市场系统的经济性、有效性、合理性,因此我们务必走出对数学方法的盲目崇拜,将其放在合适的研究位置上。

  三、现代金融学运用数学方法的发展趋势

  为满足金融领域的发展需要,在中外诸多专家学者的努力下,金融数学取得了深远的发展,其内容日益丰富且发展迅猛。本部分谨就其发展趋势做简要综述:

  (一)随机最优控制理论

  该理论于近期得到长足发展,主要用于解决金融领域中某些带有随机性的问题,其主要手段是贝尔曼最优化原理、测度理论及泛函分析方法。这一数学工具在六七十年代取得突破后,被经济学家迅速吸收,用于解决消费和资产组合、不确定情况下经济最优增长等问题。其后逐渐被多数金融经济学领域所应用。

  (二)鞅理论

  假定金融市场市场具备有效性,可以通过引入鞅理论来借助等价鞅测度方法研究衍生证券定价问题,使得证券价格等价于一个鞅随机过程。这一结果不但深刻揭示了金融市场规律,还能提供一整套有效算法来求解金融衍生品的定价及风险管理等问题。此外,还可以较好解决不完备市场下的衍生证券的定价问题。这一定价理论在金融领域中取得了突破进展,并占据了主导地位。遗憾的是,在国内著述尚少。

  (三)脉冲最优控制理论

  由于证券投资决策中交易速率并非有界且改变并不频繁,连续时间随机控制问题虽然可以通过近似方式更加容易地处理问题,但其结果旺旺与实际仍有较大出入。为解决这一局面,脉冲最优控制方法应运而生。

  参考文献:

  [1]沈跃云;浅谈金融与数学[J];江苏经贸职业技术学院学报;2005年第4期;

  [2]桂花;试论数学分析在金融研究中的作用[J];广东技术师范学院学报;2004年第6期;

  [3]刘海龙,潘德惠;人文科学与自然科学的交叉研究:金融学中的数理方法综述[J];东北大学学报;第1卷第4期.

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